Podcasty historyczne

Ile cyfr liczby Pi znali starożytni Egipcjanie?

Ile cyfr liczby Pi znali starożytni Egipcjanie?

Z „Papirusa Rhinda” z 1600 r. p.n.e. wiemy, że Egipcjanie oszacowali liczbę pi, a mianowicie 3,16, co oznacza, że ​​znali tylko 2 cyfry liczby pi. Według tego artykułu znali więcej cyfr, co najmniej 4 cyfry pi. Około 200 rpne Archimedes oszacował liczbę pi na 22/7, czyli 3 cyfry liczby pi. Wskazuje to, że Egipcjanie znali więcej cyfr 2000 lat przed Archimedesem, jednak nie jest dla mnie jasne, ile cyfr faktycznie znali.

http://www.bcamt.ca/wp-content/uploads/2015/03/Yochim.pdf


Starożytni Egipcjanie w czasach papirusu Rhinda tak naprawdę nie mieli pojęcia Pi. Opisana przez nich metoda znajdowania pola koła polegała na wpisaniu go w kwadrat i zastosowaniu stosunku 64/81 do pola w kwadracie. Jednak dzisiaj wiemy, że jest to matematycznie równoważne użyciu Pi 256/81. To włos mniejszy niż 3,1605, co na stronie osi czasu Wikipedii oznacza, że ​​ma to miejsce z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

Starożytni Babilończycy i Indianie mniej więcej w tym samym czasie mieli swoje własne heurystyki, które dawały Pi odpowiednio 3+1/8 i 25/8, czyli 3,125 (dokładnie). To było odrobinę bliżej, ale również z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. Nikt inny nie jest znany z tego, że szeroko ustalił znacznie lepsze oszacowanie aż do 2 miejsc po przecinku Archimedesa, prawie 2000 lat później.

Artykuł, do którego zalinkowałeś, zawiera kilka spekulacji i ekstrapoluje na ich podstawie. Nie chcę tracić z oczu faceta: to fascynujące spekulacje. Uważam, że pomysł budowniczych piramid toczących się na kole obrotowym w celu wykreślenia czterech rogów jest szczególnie atrakcyjny. Ale u podstaw tego artykułu jest po prostu wiele osobistych spekulacji i zabawy matematycznej, zbudowanej wokół rdzenia historycznych i matematycznych faktów. Oczywiście jest całkiem możliwe, aby być za pomocą Pi nie wiedząc o tym; dokładnie to zrobiliby nasi użytkownicy kół wysuwanych.

Pewien egiptolog twierdził już w 1940 roku, że Egipcjanie również używali 22/7, ale ten argument nie wydaje się być dziś powszechnie akceptowany. Nie jestem pewien, jak bardzo jego argumenty pasują do gazety, którą podałeś.


Ostatnia cyfra Pi

[To jest przybliżony zapis mojego wystąpienia na TEDxNYED, wygłoszonego 6 marca 2010 r. w Nowym Jorku w Collegiate School. TEDxNYED był całodniową konferencją badającą rolę nowych mediów i technologii w kształtowaniu przyszłości edukacji. (Refleksje na temat TED i TEDxNYED).” To, co właściwie powiedziałem i zrobiłem na TEDxNYED, odbiegało od tego transkrypcji, kilka razy bezpośrednio angażowałem publiczność, raz dla zabawy, a raz, aby poznać ich pomysły na ten temat. Opublikuję film, gdy będzie dostępny.]

Chcę Wam opowiedzieć o zapomnianej sferze edukacji i wiedzy. Jest to opowieść ku przestrodze, przypowieść o tym, co się dzieje, gdy świat się zmienia, gdy tradycja jest kwestionowana.

Do stosunkowo niedawna w historii ludzkości pi było bardzo poszukiwanym rozwiązaniem tego, co długo nazywano „rektyfikacją” lub „kwadraturą” koła, fantazyjnych słów, które łatwiej symbolizować na schemacie na tym slajdzie. Jak możesz przekształcić ten okrąg w nałożony kwadrat? Jeden bok kwadratu miałby jedną czwartą pi, jeśli średnica koła wynosi 1.

Pi było pożądaną liczbą przez tysiące lat, nasyconą magicznymi właściwościami. Pokolenia uczonych podążały za tym zawzięcie, często uważając to za początek i koniec geometrii.

To jest inne pi-pi, jakie znamy współcześnie:

Cóż, nie wszystko, jak na pewno wiesz. To tylko pierwsze 200 cyfr. Liczba ciągnie się w nieskończoność. Mam nadzieję, że nie spodziewałeś się, że ujawnię ostatnią cyfrę liczby pi. Ponieważ nie ma jednego. Dziwne, nie?

Pi nie zawsze była taka dziwna. Starożytni Egipcjanie wiedzieli lepiej, ustalając stosunek obwodu do średnicy koła na 4 przez 3 do 4 potęgi. To znacznie bardziej zdecydowane, a przez to znacznie bardziej sensowne.

Archimedes wiedział lepiej, kierując się wartością pi pomiędzy kilkoma bardzo zbliżonymi ułamkami.

Jeśli jesteś literatem biblijnym, pi wydaje się być 3, ponieważ Biblia wyraźnie opisuje, że 30 łokci obejmuje okrąg o średnicy 10 łokci.

A rozwiązania wciąż nadchodziły. Od starożytnych matematyków i filozofów, przez średniowiecznych uczonych, po renesans i oświecenie. Wydawało się, że każdy jest w stanie znaleźć — przy wystarczającym wysiłku — dokładną wartość pi. Kwadratura koła była wysiłkiem geniuszu w starożytnej nauce doskonale opisanej przed wiekami przez Euklidesa.

Ale coś zmieniło się radykalnie w XVIII wieku, zaraz po tej książce po prawej Jouberta de la Rue. Kilku matematyków zaczęło poważniej traktować dokuczliwe uczucie, że pi nie ma idealnego rozwiązania jako magicznego ułamka. W końcu może nie mieć ostatniej cyfry. Ta krytyczna liczba w centrum matematyki może w rzeczywistości być irracjonalna. Pewien matematyk zaczął rekonceptualizować pi.

I oto on: elegancki szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert:

Był oczywiście synem krawca i był głównie samoukiem matematyki. Jego genialna praca z lat sześćdziesiątych XVIII wieku pokazała, że ​​π/4 nie może być liczbą wymierną – nigdy nie można dokładnie określić wartości jednego boku tego kwadratu – a zatem to pi również było irracjonalne. Po Lambercie w podręcznikach do matematyki sprawa została rozwiązana.

Zgadza się, problem rozwiązany…

Z wyjątkiem….koła-kwadratu trwającego. Świat matematyki zmienił się wraz z odkryciami XVIII wieku, ale jakoś przesłanie nie dotarło do wielu ludzi. John Parker, po lewej, wymyślił moje ulubione rozwiązanie: pi to dokładnie 20612/6561. Niektórzy okrąg-kwadraty, jak James Smith po prawej, kpili z dowodu Lamberta jako dzieła dyletanta.

Sprawy stały się drażliwe między nowymi matematykami a tymi, którzy trzymali się wcześniejszej wizji pi. Zapis tej wojny jest równie pouczający, co zabawny. W latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych James Smith zmierzył się z Augustusem De Morganem, profesorem matematyki z Londynu, w serii krótkich broszur, które były wiktoriańskim odpowiednikiem Twittera.

Ale nic dziwnego, że skarcenia profesorów matematyki nie powstrzymały kwadratów koła. Ich rozwiązania wciąż pojawiały się, nawet w obliczu krytyki, nawet po wykazaniu, że pi jest transcendentalne, co oznacza, że ​​nie może być nawet pierwiastkiem jakiejś innej liczby lub równania. Moja ulubiona książka z przełomu XIX i XX wieku miała na okładce taki podtytuł: “Wielki problem, który wprawiał w zakłopotanie największych filozofów i najjaśniejsze umysły dawnych i współczesnych czasów, został teraz rozwiązany przez skromnego obywatela amerykańskiego miasta Brooklyn.”

Teraz łatwo jest śmiać się z tych źle poprowadzonych kwadratów, zwłaszcza gdy pochodzą z Brooklynu. Ale jeśli poważnie czytasz kwadraty w kręgach i przestajesz o tym myśleć, nie różnią się one tak bardzo od ciebie czy ode mnie. Nawet w naszych czasach pełnej wiedzy wszyscy upieramy się przy robieniu rzeczy, które inni już dawno porzucili jako absurdalne lub passé.

Historia mówi nam, że ludzie niestety nie są zbyt dobrzy w oglądaniu nowego, a zamiast tego są bardzo dobrzy w utrzymywaniu przeszłości za wszelką cenę. Dotyczy to szczególnie edukacji: Euklidesa Elementy, napisany ponad 2000 lat temu, nadal był standardowym podręcznikiem do matematyki jeszcze w XIX wieku, pomimo znacznych postępów matematycznych.

Warto więc zatrzymać się i pomyśleć o ostatniej cyfrze pi. Dlaczego tak wielu nadal podążało za pi, jak to było tradycyjnie pojmowane, i dlaczego opierali się nowej matematyce?

Pomyśl przez chwilę o różnicy między starym a nowym pi. Stare było doskonałe, proste, uporządkowane, boskie nowe, pozornie nieprecyzyjne, prozaiczne, chaotyczne, ludzkie. Tak więc historia pi jest opowieścią i psychologią tego, co dzieje się, gdy złożone i nowe próbuje wyprzedzić proste i tradycyjne.

To się dzieje wokół nas w erze cyfrowej. Zastępujemy to, co postrzegane jako doskonałe i uporządkowane, na pozornie nieprecyzyjne i chaotyczne.

Spójrz na przykład na to, co wydarzyło się w ostatniej dekadzie z Wikipedią i niepokój o los tradycyjnej Encyklopedii.

Albo gazety w obliczu nowych form dziennikarstwa, takich jak blogowanie. Były statystyk baseballowy, Nate Silver z FiveThirtyEight.com, może bezczelnie zdecydować się na analizę wyborów i gospodarki lepiej niż większość gazet? W rzeczy samej.

Teraz ta publiczność, biodro po prawej stronie tych ekranów, może chcieć być tak złośliwa jak Augustus De Morgan dla tych, którzy wciąż są po lewej. Możemy chcieć zostawić za sobą współczesne okrąg-kwadraty i niewątpliwie niektóre z nich zostaną. Ale dla większości, która jest niespokojna i tkwi między starym a nowym, potrzebujemy innych metod, aby ich przekonać i zmienić status quo. Historia mówi nam, że nie wystarczy powiedzieć, że ludzie są ślepi na przyszłość. Musimy dokładnie pokazać, jakie są słabości starego…

…i musimy pokazać, jak nowe działa lepiej niż stare.

Prawidłowa znajomość liczby pi do 10. cyfry jest niezwykle pomocna przy dokładnym przewidywaniu ruchów ciał niebieskich, spróbuj użyć 3 1/8 Jamesa Smitha podczas śledzenia łuku planety lub księżyca. W przypadku niektórych fizyki znajomość liczby pi z dokładnością do 40 ma kluczowe znaczenie.

Co więcej, to współczesne pi może być dziwne, ale sama jego dziwność otworzyła nowe ścieżki badań i myśli, które były tak samo trudne intelektualnie i satysfakcjonujące jak kwadratura koła. Transcendentalna natura pi skłoniła matematyków do rozważania nieskończonych ciągów ułamków i wywarła wpływ na teorię chaosu. W informatyce wymyślenie algorytmów pozwalających na jak najszybsze osiągnięcie miliarda lub bilionów cyfr liczby pi posunęło naprzód tę dziedzinę. A jeśli nadal chcesz rozwiązać nierozwiązany problem, sprawdź, czy możesz dowiedzieć się, czy pi jest tak zwaną „normalną liczbą”, gdzie rozkład cyfr 0-9 jest jednolity…

… lub czy istnieje przewaga ósemek. Teraz jest to trudny problem, związany z prawdziwymi problemami we współczesnej matematyce. Więc wciąż są problemy do rozwiązania, bardziej zaawansowane problemy. Matematyka nie zakończyła się wraz z końcem starego pi — po prostu ruszyła w nowych, ciekawszych kierunkach.

Ale żeby dojść do tego punktu, matematycy musieli w zrozumiały sposób pokazać, jak nowe pi stworzyło nowy porządek.


Zawartość

Najbardziej znane przybliżenia π datowane przed naszą erą były z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, co zostało ulepszone w chińskiej matematyce, zwłaszcza w połowie pierwszego tysiąclecia, z dokładnością do siedmiu miejsc po przecinku. Od tego czasu nie poczyniono dalszych postępów aż do okresu późnego średniowiecza.

Niektórzy egiptolodzy [4] twierdzili, że starożytni Egipcjanie używali przybliżenia π jako 22 ⁄ 7 = 3,142857 (o około 0,04% za dużo) już od Starego Państwa. [5] Twierdzenie to spotkało się ze sceptycyzmem. [6] [7]

W V wieku n.e. π był znany z około siedmiu cyfr w matematyce chińskiej i około pięciu cyfr w matematyce indyjskiej. Dalszy postęp nie nastąpił przez prawie tysiąclecie, aż do XIV wieku, kiedy indyjski matematyk i astronom Madhava z Sangamagrama, założyciel szkoły astronomii i matematyki w Kerali, odkrył nieskończoną serię dla π, znaną obecnie jako seria Madhava-Leibniz, [21] [22] i podali dwie metody obliczania wartości π . Jedną z tych metod jest uzyskanie szybko zbieżnego szeregu przez przekształcenie oryginalnego nieskończonego szeregu π . W ten sposób uzyskał nieskończoną serię

i użył pierwszych 21 wyrazów do obliczenia przybliżenia π z dokładnością do 11 miejsc po przecinku jako 3,141 592 653 59 .

Inną metodą, którą zastosował, było dodanie pozostałego terminu do oryginalnego szeregu π . Użył pozostałego terminu

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), perski astronom i matematyk, poprawnie obliczył od 2 π do 9 cyfr sześćdziesiętnych w 1424 r. [23] Liczba ta jest odpowiednikiem 17 cyfr dziesiętnych jako

Osiągnął ten poziom dokładności, obliczając obwód wielokąta foremnego o bokach 3 × 2 28. [24]

W drugiej połowie XVI wieku francuski matematyk François Viète odkrył nieskończony produkt, który zbiegał się z π, znanym jako formuła Viète'a.

Niemiecko-holenderski matematyk Ludolph van Ceulen (około 1600) obliczył pierwsze 35 miejsc po przecinku π z 2 62 -gonami. Był tak dumny z tego osiągnięcia, że ​​kazał je wyryć na swoim nagrobku. [25]

w Cyklometryczny (1621), Willebrord Snellius wykazał, że obwód wielokąta wpisanego zbiega się na obwodzie dwa razy szybciej niż obwód odpowiadającego wielokąta opisanego. Zostało to udowodnione przez Christiaana Huygensa w 1654 roku. Snellius był w stanie uzyskać siedem cyfr π z wielokąta 96-bocznego. [26]

W 1789 r. słoweński matematyk Jurij Vega obliczył pierwsze 140 miejsc po przecinku dla π , z których pierwsze 126 było poprawne [27] i utrzymywał rekord świata przez 52 lata, aż do 1841 r., kiedy William Rutherford obliczył 208 miejsc po przecinku, z czego pierwszy 152 były poprawne. Vega udoskonalił formułę Johna Machina z 1706 roku, ao jego metodzie wspomina się do dziś. [ wymagany cytat ]

Wielkość takiej precyzji (152 miejsca po przecinku) można ująć w kontekście przez fakt, że obwód największego znanego obiektu, obserwowalnego wszechświata, można obliczyć na podstawie jego średnicy (93 miliardy lat świetlnych) z dokładnością mniejszą niż jedna długość Plancka (przy 1,6162 × 10 -35 metrów, najkrótsza jednostka długości, która ma prawdziwe znaczenie) przy użyciu π wyrażonego z dokładnością do 62 miejsc po przecinku. [28]

Angielski matematyk-amator William Shanks, człowiek niezależnych środków, spędził ponad 15 lat na obliczaniu liczby π do 607 miejsc po przecinku. Udało się to osiągnąć w 1873 roku, z prawidłowymi pierwszymi 527 miejscami. [29] Przez cały ranek obliczał nowe cyfry, a potem całe popołudnie spędzał na sprawdzaniu porannej pracy. Była to najdłuższa ekspansja π aż do pojawienia się elektronicznego komputera cyfrowego trzy czwarte wieku później. [ wymagany cytat ]

W 1910 indyjski matematyk Srinivasa Ramanujan znalazł kilka szybko zbiegających się nieskończonych szeregów π , w tym

która oblicza kolejne osiem miejsc po przecinku π dla każdego terminu w serii. Jego serie są obecnie podstawą najszybszych algorytmów stosowanych obecnie do obliczania π . Zobacz także serię Ramanujan-Sato.

Od połowy XX wieku wszystkie obliczenia π były wykonywane za pomocą kalkulatorów lub komputerów.

W 1944 r. D.F. Ferguson, przy pomocy mechanicznego kalkulatora biurkowego, odkrył, że William Shanks popełnił błąd w 528. miejscu po przecinku i że wszystkie kolejne cyfry były nieprawidłowe.

We wczesnych latach istnienia komputera, ekspansja π do 100 000 miejsc po przecinku [30] : 78 została obliczona przez matematyka z Maryland Daniela Shanksa (bez związku z wyżej wspomnianym Williamem Shanksem) i jego zespół w United States Naval Research Laboratory w Waszyngtonie W 1961 r. Shanks i jego zespół użyli dwóch różnych szeregów potęgowych do obliczenia cyfr π . Po pierwsze, wiedziano, że każdy błąd przyniesie nieco wysoką wartość, a po drugie, że każdy błąd przyniesie nieco niską wartość. A zatem, dopóki obie serie dawały te same cyfry, istniała bardzo duża pewność, że są one poprawne. Pierwsze 100 265 cyfr π opublikowano w 1962 r. [30] : 80–99 Autorzy przedstawili, co będzie potrzebne do obliczenia π do 1 miliona miejsc po przecinku, i doszli do wniosku, że zadanie wykraczało poza technologię tego dnia, ale byłoby możliwe w pięciu do siedmiu lat. [30] : 78

W 1989 roku bracia Chudnovsky obliczyli π do ponad 1 miliarda miejsc po przecinku na superkomputerze IBM 3090, używając następującej odmiany nieskończonej serii π Ramanujana:

Od tego czasu wszystkie rekordy zostały osiągnięte przy użyciu algorytmu Chudnovsky'ego. W 1999 roku Yasumasa Kanada i jego zespół z Uniwersytetu Tokijskiego obliczył π z dokładnością do ponad 200 miliardów miejsc po przecinku na superkomputerze HITACHI SR8000/MPP (128 węzłów) przy użyciu innego wariantu nieskończonego szeregu π Ramanujana. W listopadzie 2002 roku Yasumasa Kanada i zespół 9 innych osób użyli Hitachi SR8000, 64-węzłowego superkomputera z 1 terabajtem pamięci głównej, do obliczenia liczby π do około 1,24 biliona cyfr w ciągu około 600 godzin (25 dni). W październiku 2005 r. twierdzili, że obliczyli go na 1,24 biliona miejsc. [31]

W sierpniu 2009 roku japoński superkomputer o nazwie T2K Open Supercomputer podwoił poprzedni rekord, obliczając π do około 2,6 biliona cyfr w ciągu około 73 godzin i 36 minut.

W grudniu 2009 r. Fabrice Bellard użył domowego komputera do obliczenia 2,7 biliona cyfr dziesiętnych π . Obliczenia przeprowadzono w systemie o podstawie 2 (binarnie), a następnie wynik przeliczono na system o podstawie 10 (dziesiętny). Obliczenia, konwersja i weryfikacja zajęły łącznie 131 dni. [32]

W sierpniu 2010 Shigeru Kondo użył y-crunchera Alexandra Yee do obliczenia 5 bilionów cyfr π . Był to światowy rekord dla wszelkiego rodzaju obliczeń, ale co ważne, dokonano go na komputerze domowym zbudowanym przez Kondo. [33] Obliczenia przeprowadzono między 4 maja a 3 sierpnia, przy czym weryfikacja pierwotna i wtórna zajęły odpowiednio 64 i 66 godzin. [34]

W październiku 2011 roku Shigeru Kondo pobił swój własny rekord, obliczając dziesięć bilionów (10 13 ) i pięćdziesiąt cyfr przy użyciu tej samej metody, ale na lepszym sprzęcie. [35] [36]

W grudniu 2013 roku Kondo po raz drugi pobił swój własny rekord, kiedy obliczył 12,1 biliona cyfr π . [37]

W październiku 2014 r. Sandon Van Ness, występujący pod pseudonimem „houkouonchi”, użył y-crunchera do obliczenia 13,3 biliona cyfr π . [38]

W listopadzie 2016 r. Peter Trueb i jego sponsorzy obliczyli na y-cruncher i w pełni zweryfikowali 22,4 biliona cyfr π (22 459 157 718 361 (π e × 10 12)). [39] Obliczenie zajęło (z trzema przerwami) 105 dni, [38] ograniczeniem dalszej rozbudowy jest przede wszystkim przestrzeń magazynowa. [37]

W marcu 2019 r. Emma Haruka Iwao, pracownik Google, obliczyła 31,4 biliona cyfr liczby pi przy użyciu y-crunchera i maszyn Google Cloud. Zajęło to 121 dni. [40]

W styczniu 2020 r. Timothy Mullican ogłosił obliczenie 50 bilionów cyfr w ciągu 303 dni. [41] [42]

Godne uwagi są teksty prawne lub historyczne rzekomo „definiujące π” jako mające jakąś wartość racjonalną, takie jak „Indiana Pi Bill” z 1897 roku, który stwierdzał, że „stosunek średnicy i obwodu wynosi pięć czwartych do czterech” (co oznaczałoby " π = 3,2”) i fragment Biblii hebrajskiej, który sugeruje, że π = 3 .

Rachunek z Indiany Edytuj

Tak zwany „Indiana Pi Bill” z 1897 r. był często charakteryzowany jako próba „ustanowienia prawa wartości Pi”. Ustawa dotyczyła raczej rzekomego rozwiązania problemu geometrycznego „kwadratowania koła”. [46]

Przypisana wartość biblijna Edytuj

Czasami twierdzi się, że Biblia Hebrajska sugeruje, że „π równa się trzy”, na podstawie fragmentu z 1 Królów 7:23 i 2 Kronik 4:2 podającego wymiary okrągłego basenu znajdującego się przed Świątynią w Jerozolimie jako posiadającego średnicę 10 łokci i obwód 30 łokci.

Zagadnienie to jest omawiane w Talmudzie i literaturze rabinicznej. [47] Wśród wielu wyjaśnień i komentarzy są te:

    wyjaśnił to w jego Misznat ha-Middot (najwcześniejszy znany tekst hebrajski o geometrii, ok. 150 n.e.), mówiąc, że średnicę mierzy się od na zewnątrz obręczy, podczas gdy obwód mierzono wzdłuż wewnętrzny obręcz. Ta interpretacja implikuje rondo około 0,225 łokcia (lub, zakładając 18-calowy „łokieć”, jakieś 4 cale) lub jedną i jedną trzecią „szerokości dłoni”, grube (por. NKJV i NKJV). stwierdza (ok. 1168 n.e.), że π można poznać tylko w przybliżeniu, więc wartość 3 została podana jako wystarczająco dokładna dla celów religijnych. Niektórzy [48] uważają to za najwcześniejsze twierdzenie, że π jest nieracjonalne.
  • Kolejne wyjaśnienie rabiniczne [przez kogo?] [potrzebny rok] przywołuje gematria: w NKJV słowo przetłumaczone jako 'linia miernicza' pojawia się w tekście hebrajskim pisanym KAVEH קַוה, ale gdzie indziej słowo to jest najczęściej pisane KAV קַו. Stosunek wartości liczbowych tych hebrajskich pisowni wynosi:
  • 111 ⁄ 106 . Jeśli domniemana wartość 3 jest pomnożona przez ten stosunek, otrzymujemy
  • 333 ⁄ 106 = 3,141509433. – podanie 4 poprawnych cyfr dziesiętnych, czyli w granicach
  • 1 ⁄ 10 000 prawdziwej wartości π .

W badaniach biblijnych wciąż trwa debata na temat tego fragmentu. [ nieudana weryfikacja ] [49] [50] Wiele rekonstrukcji niecki pokazuje szersze rondo (lub rozkloszowaną wargę) wystającą na zewnątrz od samej miski o kilka cali, aby pasować do opisu podanego w NKJV [51] W kolejnych wersetach obrzeże jest opisane jako „gruby na szerokość dłoni, a jego brzeg był jak brzeg kielicha, jak kwiat lilii: przyjmował i trzymał trzy tysiące kąpieli” NKJV, co sugeruje kształt, który można objąć sznurkiem krótszym niż długość całkowita rondzie, np. kwiat Lilium lub Filiżanka.

Przybliżenie wielokąta do okręgu Edytuj

Archimedes, w jego Pomiar koła, stworzył pierwszy algorytm obliczania π oparty na założeniu, że obwód dowolnego (wypukłego) wielokąta wpisanego w okrąg jest mniejszy niż obwód koła, który z kolei jest mniejszy niż obwód dowolnego wielokąta opisanego . Zaczął od wpisanych i opisanych sześciokątów foremnych, których obwód jest łatwo określony. Następnie pokazuje, jak obliczyć obwody wielokątów foremnych o dwukrotnie większej liczbie boków wpisanych i opisanych wokół tego samego okręgu. Jest to procedura rekurencyjna, którą dziś opisałbym następująco: Let Pk oraz Pk oznaczają obwody regularnych wielokątów k boki, które są wpisane i opisane odpowiednio wokół tego samego okręgu. Następnie,

Archimedes używa tego do kolejnych obliczeń P12, P12, P24, P24, P48, P48, P96 oraz P96 . [52] Korzystając z tych ostatnich wartości, które uzyskuje

Nie wiadomo, dlaczego Archimedes zatrzymał się na 96-bocznym wieloboku, potrzeba jedynie cierpliwości, aby rozszerzyć obliczenia. Heron melduje w swoim Metryka (około 60 roku n.e.), że Archimedes kontynuował obliczenia w zaginionej już księdze, ale potem przypisuje mu nieprawidłową wartość. [53]

Archimedes nie stosuje w tym obliczeniu trygonometrii, a trudność w zastosowaniu tej metody polega na uzyskaniu dobrych przybliżeń dla zaangażowanych pierwiastków kwadratowych. Trygonometria, w postaci tabeli długości cięciw w kole, prawdopodobnie posłużyła Klaudiuszowi Ptolemeuszowi z Aleksandrii do uzyskania wartości π podanej w Almagest (ok. 150 n.e.). [54]

Postępy w aproksymacji π (kiedy metody są znane) zostały poczynione poprzez zwiększenie liczby boków wielokątów użytych w obliczeniach. Poprawa trygonometryczna Willebrorda Snella (1621) pozwala uzyskać lepsze granice z pary granic uzyskanych metodą wielokątów. W ten sposób uzyskano dokładniejsze wyniki z wielokątów o mniejszej liczbie boków. [55] Formuła Viète'a, opublikowana przez François Viète w 1593 r., została wyprowadzona przez Viète przy użyciu blisko spokrewnionej metody wielokątów, ale z obszarami, a nie obwodami wielokątów, których liczba boków jest potęgami dwójki. [56]

Ostatnia poważna próba obliczenia π tą metodą została przeprowadzona przez Grienbergera w 1630 roku, który obliczył 39 miejsc po przecinku π, korzystając z udoskonalenia Snella. [55]

Formuła podobna do maszyny Edytuj

Do szybkich obliczeń można wykorzystać formuły, takie jak Macin's:

wraz z rozwinięciem w szereg Taylora funkcji arctan(x). Ten wzór najłatwiej zweryfikować za pomocą współrzędnych biegunowych liczb zespolonych, dając:

( < x , y >= <239, 13 2 > jest rozwiązaniem równania Pella x 2 -2 y 2 = -1.)

Formuły tego rodzaju znane są jako Formuły maszynowe. Szczególny wzór Machina był używany w erze komputerów do obliczania rekordowych liczb cyfr π , [30], ale ostatnio stosowano również inne podobne wzory.

Na przykład Shanks i jego zespół użyli następującego wzoru podobnego do Machin w 1961 roku, aby obliczyć pierwsze 100 000 cyfr π: [30]

i użyli innej formuły podobnej do Machin,

Rekord z grudnia 2002 roku Yasumasa Kanada z Uniwersytetu Tokijskiego wynosił 1 241 100 000 000 cyfr. Wykorzystano do tego następujące formuły podobne do maszynowego:

Inne klasyczne formuły Edytuj

Inne formuły, które zostały użyte do obliczenia szacunków π, obejmują:

Transformacja zbieżności Newtona / Eulera: [57]

gdzie (2k + 1)!! oznacza iloczyn nieparzystych liczb całkowitych do 2k + 1.

Praca Ramanujana jest podstawą algorytmu Chudnowskiego, najszybszego algorytmu używanego na przełomie tysiącleci do obliczania π .

Nowoczesne algorytmy Edytuj

Niezwykle długie rozwinięcia dziesiętne π są zwykle obliczane za pomocą wzorów iteracyjnych, takich jak algorytm Gaussa-Legendre'a i algorytm Borweina. Ta ostatnia, znaleziona w 1985 roku przez Jonathana i Petera Borweina, zbiega się niezwykle szybko:

yk + 1 = ( 1 − f ( yk ) ) / ( 1 + f ( yk ) ) , ak + 1 = ak ( 1 + yk + 1 ) 4 − 2 2 k + 3 yk + 1 ( 1 + yk + 1 + yk + 1 2 ) < Displaystyle y_=(1-f(y_))/(1+f(y_))

gdzie f ( y ) = ( 1 − y 4 ) 1 / 4 )^<1/4>> , sekwencja 1 / ak > zbiega się kwartalnie do π , dając około 100 cyfr w trzech krokach i ponad bilion cyfr po 20 krokach. Wiadomo jednak, że użycie algorytmu takiego jak algorytm Chudnovsky'ego (który jest zbieżny liniowo) jest szybsze niż te iteracyjne formuły.

Te przybliżenia mają tak wiele cyfr, że nie mają już żadnego praktycznego zastosowania, z wyjątkiem testowania nowych superkomputerów. [58] Własności takie jak potencjalna normalność π zawsze będą zależeć od nieskończonego ciągu cyfr na końcu, a nie od jakichkolwiek skończonych obliczeń.

Różne przybliżenia Edytuj

Historycznie do obliczeń stosowano podstawę 60. W tej bazie π można aproksymować do ośmiu (dziesiętnie) cyfr znaczących o liczbie 38,29,4460, który jest

(Następna cyfra sześćdziesiętna to 0, co powoduje, że obcięcie tutaj daje stosunkowo dobre przybliżenie.)

Ponadto do oszacowania π można użyć następujących wyrażeń:

  • z dokładnością do trzech cyfr:
  • z dokładnością do trzech cyfr:
  • z dokładnością do czterech cyfr:
  • z dokładnością do czterech cyfr (lub pięciu cyfr znaczących):
  • przybliżenie przez Ramanujan, z dokładnością do 4 cyfr (lub pięciu cyfr znaczących):
  • z dokładnością do pięciu cyfr:
  • z dokładnością do sześciu cyfr [2]:
  • z dokładnością do siedmiu cyfr:
  • z dokładnością do dziewięciu cyfr:
  • z dokładnością do dziesięciu cyfr:
  • z dokładnością do dziesięciu cyfr (lub jedenastu cyfr znaczących):
  • z dokładnością do 18 cyfr:
  • z dokładnością do 30 miejsc po przecinku:
  • z dokładnością do 52 miejsc po przecinku:
  • z dokładnością do 161 miejsc po przecinku:
  • Kontynuowana reprezentacja ułamka π może być użyta do wygenerowania kolejnych najlepszych racjonalnych przybliżeń. Te przybliżenia są najlepszymi możliwymi racjonalnymi przybliżeniami π w stosunku do wielkości ich mianowników. Oto lista pierwszych trzynastu z nich: [64][65]

Sumowanie obszaru okręgu Edytuj

Pi można uzyskać z okręgu, jeśli jego promień i pole są znane z zależności:

Jeśli okrąg o promieniu r jest rysowany ze środkiem w punkcie (0, 0), dowolny punkt, którego odległość od początku jest mniejsza niż r wpadnie do kręgu. Twierdzenie Pitagorasa podaje odległość od dowolnego punktu ( x , tak ) do centrum:

Matematyczny „papier milimetrowy” jest tworzony przez wyobrażenie sobie kwadratu 1×1 wyśrodkowanego wokół każdej komórki ( x , tak ), gdzie x oraz tak są liczbami całkowitymi pomiędzy − r i r . Kwadraty, których środek znajduje się wewnątrz lub dokładnie na granicy okręgu, można następnie policzyć, sprawdzając, czy dla każdej komórki ( x , tak ),

Całkowita liczba komórek spełniających ten warunek w ten sposób przybliża pole koła, które następnie można wykorzystać do obliczenia przybliżenia π . Bliższe przybliżenia można uzyskać, używając większych wartości r .

Matematycznie tę formułę można zapisać:

Innymi słowy, zacznij od wybrania wartości r . Rozważ wszystkie komórki ( x , tak ) w którym zarówno x oraz tak są liczbami całkowitymi pomiędzy − r i r . Zaczynając od 0, dodaj 1 dla każdej komórki, której odległość od początku (0,0) jest mniejsza lub równa r . Kiedy skończysz, podziel sumę reprezentującą obszar okręgu o promieniu r , przez r 2 , aby znaleźć przybliżenie π . Na przykład, jeśli r wynosi 5, to rozważane komórki to:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

r powierzchnia przybliżenie π
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

Podobnie, bardziej złożone przybliżenia π podane poniżej wymagają powtarzania pewnego rodzaju obliczeń, dając coraz bliższe przybliżenia wraz ze wzrostem liczby obliczeń.

Ciąg dalszy ułamków Edytuj

Oprócz prostej reprezentacji ułamka ciągłego [3 7, 15, 1, 292, 1, 1, . ], który nie pokazuje żadnego dostrzegalnego wzoru, π ma wiele uogólnionych reprezentacji ułamków ciągłych generowanych przez prostą regułę, w tym te dwie.

(Inne reprezentacje są dostępne na stronie Wolfram Functions.)

Trygonometria Edytuj

Seria Gregory-Leibniz Edytuj

jest szeregiem potęgowym dla arctan(x) wyspecjalizowanym w x = 1. Zbiega się zbyt wolno, aby mogło być praktyczne. Jednak szereg potęgowy zbiega się znacznie szybciej dla mniejszych wartości x , co prowadzi do formuł, w których π występuje jako suma małych kątów z wymiernymi stycznymi, znanymi jako formuły podobne do Machin.

Arcus tangens Edytuj

Wiedząc, że 4 arctan 1 = π , wzór można uprościć do uzyskania:

ze zbieżnością taką, że każde dodatkowe 10 wyrazów daje co najmniej trzy dodatkowe cyfry.

Alternatywnie można zastosować następującą prostą serię rozwinięcia funkcji arcus tangens

Arcsine Edytuj

Obserwując trójkąt równoboczny i zauważając, że

ze zbieżnością taką, że każde dodatkowe pięć wyrazów daje co najmniej trzy dodatkowe cyfry.

Algorytm Salamina-Brenta Edytuj

Wzór Baileya-Borweina-Plouffe'a (BBP) do obliczania π został odkryty w 1995 roku przez Simona Plouffe'a. Korzystając z matematyki o podstawie 16, formuła może obliczyć dowolną konkretną cyfrę π — zwracając wartość szesnastkową cyfry — bez konieczności obliczania cyfr pośredniczących (wyodrębnianie cyfr). [68]

W 1996 r. Simon Plouffe opracował algorytm wyodrębniania n-tej cyfry dziesiętnej z π (używając matematyki o podstawie 10 do wyodrębnienia cyfry o podstawie 10), który może to zrobić z większą szybkością O(n 3 (log n) 3 razy. Algorytm praktycznie nie wymaga pamięci do przechowywania tablicy lub macierzy, więc jedną milionową cyfrę π można obliczyć za pomocą kieszonkowego kalkulatora. [69] Byłoby to jednak dość żmudne i niepraktyczne.

Szybkość obliczeń wzoru Plouffe'a została poprawiona do O(n 2 ) Fabrice'a Bellarda, który wyprowadził alternatywny wzór (choć tylko w matematyce o podstawie 2) do obliczania π . [70]

Wiele innych wyrażeń na π zostało opracowanych i opublikowanych przez indyjskiego matematyka Srinivasa Ramanujana. Przez kilka lat pracował z matematykiem Godfreyem Haroldem Hardym w Anglii.

Niezwykle długie rozwinięcia dziesiętne π są zwykle obliczane za pomocą algorytmu Gaussa-Legendre'a i algorytmu Borweina, algorytmu Salamina-Brenta, który został wynaleziony w 1976 roku.

W 1997 roku David H. Bailey, Peter Borwein i Simon Plouffe opublikowali artykuł (Bailey, 1997) na temat nowego wzoru na π jako szereg nieskończony:

Ten wzór pozwala dość łatwo obliczyć kbinarna lub szesnastkowa cyfra π , bez konieczności obliczania poprzedniego k − 1 cyfra. Strona Baileya [71] zawiera derywację oraz implementacje w różnych językach programowania. Projekt PiHex obliczył 64 bity wokół biliardowego bitu π (co okazuje się być 0).

Inne formuły, które zostały użyte do obliczenia szacunków π, obejmują:

Zbiega się to niezwykle szybko. Praca Ramanujana jest podstawą najszybszych algorytmów wykorzystywanych na przełomie tysiącleci do obliczania π .

W 1988 David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky odkryli jeszcze szybszą zbieżną serię (algorytm Chudnovsky'ego):

Szybkość różnych algorytmów obliczania pi do n poprawnych cyfr jest pokazana poniżej w porządku malejącym złożoności asymptotycznej. M(n) to złożoność zastosowanego algorytmu mnożenia.

Algorytm Rok Złożoność czasowa lub szybkość
Algorytm Chudnowskiego 1988 O ( n log ⁡ ( n ) 3 ) )> [38]
Algorytm Gaussa-Legendre'a 1975 O ( M ( n ) log ⁡ ( n ) ) [73]
Dzielenie binarne szeregu arctan we wzorze Machina O ( M ( n ) ( log ⁡ n ) 2 ) )> [73]
Wzór Leibniza dla π 1300s Zbieżność podliniowa. Pięć miliardów terminów dla 10 poprawnych miejsc po przecinku

Pi Hex Edytuj

Pi Hex był projektem mającym na celu obliczenie trzech określonych cyfr binarnych π przy użyciu rozproszonej sieci kilkuset komputerów. W 2000 roku, po dwóch latach, projekt zakończył obliczanie pięciu bilionów (5*10 12 ), czterdziestu bilionów i biliardów (10 15 ) bitów. Wszystkie trzy okazały się być 0.

Przez lata napisano kilka programów do obliczania liczby π na wiele cyfr na komputerach osobistych.

Ogólnego przeznaczenia Edytuj

Większość systemów algebry komputerowej może obliczyć π i inne popularne stałe matematyczne z dowolną precyzją.

Funkcje do obliczania π są również zawarte w wielu ogólnych bibliotekach arytmetyki o dowolnej precyzji, na przykład Class Library for Numbers, MPFR i SymPy.

Specjalny cel Edytuj

Programy przeznaczone do obliczania π mogą mieć lepszą wydajność niż oprogramowanie matematyczne ogólnego przeznaczenia. Zazwyczaj implementują one punkty kontrolne i wydajną wymianę dysków, aby ułatwić wyjątkowo długotrwałe i wymagające dużej ilości pamięci obliczenia.


Ile cyfr liczby Pi musisz zapamiętać, aby być wyjątkowym

Dzisiaj jest Dzień Pi &mdash każdego roku, 14 marca, który następuje po pierwszych trzech cyfrach liczby pi (3,14). A w tym roku&rsquos Dzień Pi jest wyjątkowy: ponieważ &mdash w Stanach Zjednoczonych &mdash data jest reprezentowana jako 14.03.15, mamy w kalendarzu pierwsze pięć cyfr liczby pi.

Dla niektórych to nowość. Jeśli chodzi o to, ile cyfr liczby pi ludzie znają na pamięć, większość zna tylko 3,14. Co jest w porządku! O ile nie budujesz mostu, to jest to wszystko, co naprawdę musisz wiedzieć.

Poprosiłem SurveyMonkey Audience o przeprowadzenie ankiety, aby zobaczyć, jak daleko ludzie mogą zajść w recytacji nieskończonych cyfr liczby pi. Spośród 941 respondentów 836 próbowało nazwać cyfry po przecinku. Oto jak daleko zaszli:

POZIOM PRECYZJI PROCENT RESPONDENTÓW
3.1 73
3.14 64
3.141 33
3.1415 26
3.14159 19
3.141592 12
3.1415926 10
3.14159265 7
3.141592653 5

Jeśli uda ci się dotrzeć do pierwszych 3 po przecinku, jesteś w grupie pięciu najlepszych osób zapamiętujących liczbę pi. Poprosiłem ludzi, którzy zaszli tak daleko, aby szli dalej, a większość wkrótce potem odklepała.

Największy spadek nastąpił po &bdquo3.14,&bdquo, ponieważ respondenci, którzy dotarli tak daleko, dotarli do &bdquo3.141&bdquo tylko w około 52 procentach przypadków.

Pracownicy NASA prawdopodobnie ujdą na sucho znając tylko pierwszych sześć cyfr po przecinku. Ponadto mamy kalkulatory, gdy potrzebujemy kilku cyfr więcej, TI-89, gdy te kalkulatory są niewystarczające i Wolfram Alpha, gdy sprowadzimy te kalkulatory do dymiącego, roztopionego bałaganu.

Może po wyczekiwanej apokalipsie, chłopaki z Wielkiego Zderzacza Hadronów będą szczęśliwi mając tego kolesia, który zapamiętał dziesiątki tysięcy cyfr pi, ale na razie ma dziwne hobby. Znajomość liczby pi jest czynnością ściśle performatywną, podobnie jak ludzie, którzy chętnie zgłaszają się na ochotnika na swój wynik SAT lub procent ukończenia szkoły średniej.


Ile cyfr liczby Pi znali starożytni Egipcjanie? - Historia

Pi to nazwa nadana stosunkowi obwodu koła do średnicy. Oznacza to, że dla dowolnego okręgu możesz podzielić obwód (odległość wokół okręgu) przez średnicę i zawsze otrzymać dokładnie tę samą liczbę. Nie ma znaczenia, jak duży lub mały jest okrąg, Pi pozostaje takie samo. Pi jest często pisane za pomocą symbolu i wymawiane jako „pie”, podobnie jak deser.

Krótka historia Pi
Starożytne cywilizacje wiedziały, że istnieje stały stosunek obwodu do średnicy, który był w przybliżeniu równy trzy. Grecy udoskonalili ten proces, a Archimedesowi przypisuje się pierwsze teoretyczne obliczenie Pi.

W 1761 Lambert udowodnił, że Pi jest irracjonalne, to znaczy, że nie można go zapisać jako stosunek liczb całkowitych.

W 1882 Lindeman udowodnił, że Pi jest transcendentalne, to znaczy, że Pi nie jest pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego ze współczynnikami wymiernymi. To odkrycie udowodniło, że nie można „kwadratować koła”, co do tej pory zajmowało wielu matematyków. (Więcej informacji na temat kwadratury koła.)

Ile jest cyfr? Czy to się kiedykolwiek skończy?
Ponieważ wiadomo, że Pi jest liczbą niewymierną, oznacza to, że cyfry nigdy się nie kończą ani nie powtarzają w żaden znany sposób.Ale obliczanie cyfr liczby Pi okazało się fascynacją matematyków na przestrzeni dziejów. Niektórzy przez całe życie obliczali liczby Pi, ale przed komputerami obliczono mniej niż 1000 cyfr. W 1949 roku komputer wyliczył 2000 cyfr i rozpoczął się wyścig. Obliczono miliony cyfr, a rekord przechowywany (stan na wrzesień 1999 r.) przez superkomputer na Uniwersytecie Tokijskim obliczył 206 158 430 000 cyfr. (pierwsze 1000 cyfr)

Więcej o historii Pi można znaleźć w archiwach Mac Tutor Math History.

Przybliżenie Pi
Archimedes obliczył, że Pi jest pomiędzy 3 10/71 i 3 1/7 (również napisane 223/71

Strony internetowe Pi
Pi nadal fascynuje wielu ludzi na całym świecie. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, istnieje wiele stron internetowych poświęconych liczbie Pi. Istnieją witryny oferujące tysiące, miliony lub miliardy cyfr, kluby pi, muzykę pi, osoby obliczające cyfry, osoby zapamiętujące cyfry, eksperymenty z liczbą pi i wiele innych. Sprawdź tę stronę Yahoo, aby uzyskać pełną listę.

Fajny eksperyment Pi
Jednym z najciekawszych sposobów, aby dowiedzieć się więcej o Pi, jest samodzielne przeprowadzanie eksperymentów z pi. Oto sławny o nazwie Igła Buffona.

W eksperymencie Buffon's Needle możesz upuścić igłę na wyłożoną kartkę papieru. Jeśli śledzisz, ile razy igła trafia na linię, okazuje się, że jest to bezpośrednio związane z wartością Pi.

Aplet Symulacji Igieł Buffona (Michael J. Hurben)
Igła Buffona (George Reese, Biuro ds. Matematyki, Edukacji Naukowej i Technologicznej University of Illinois Champaign-Urbana)

Pierwsze 100 miejsc po przecinku

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 .

Pierwsze 1000 miejsc po przecinku
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989


Pi, ktoś? Sekret zapamiętywania dziesiątek tysięcy cyfr

Każdego roku entuzjaści matematyki obchodzą Dzień Pi 14 marca, ponieważ data oznacza pierwsze trzy cyfry (3,14) pi, czyli π, stałej matematycznej, która reprezentuje stosunek obwodu koła do jego średnicy. W tym roku wydarzenie jest jeszcze bardziej wyjątkowe, ponieważ po raz pierwszy od stulecia data będzie przedstawiać pierwsze pięć cyfr liczby pi: 3.14.15.

Pi jest liczbą niewymierną, co oznacza, że ​​nie można jej wyrazić jako ułamek, a jej reprezentacja dziesiętna nigdy się nie kończy i nigdy się nie powtarza.

Istnieje wiele sposobów na świętowanie Dnia Pi, w tym spożywanie dużych ilości jego pysznego homofonu, ciasta. Ale garstka ludzi rozwija swój podziw jeszcze bardziej, recytując z pamięci dziesiątki tysięcy cyfr liczby pi. [9 najbardziej masywnych liczb w istnieniu]

W 1981 roku Indianin o imieniu Rajan Mahadevan dokładnie wyrecytował z pamięci 31 811 cyfr liczby pi. W 1989 roku japoński Hideaki Tomoyori wyrecytował 40 000 cyfr. Obecny Światowy Rekord Guinnessa należy do Lu Chao z Chin, który w 2005 r. wyrecytował 67 890 cyfr liczby pi.

Badania sugerują, że pomimo imponujących osiągnięć większość z tych osób nie urodziła się z niezwykłymi wspomnieniami. Po prostu nauczyli się technik kojarzenia ciągów cyfr z wyimaginowanymi miejscami lub scenami w ich umysłach.

Dla wielu z tych mistrzów pamięci umiejętność „zapamiętywania ogromnej liczby losowych cyfr, takich jak pi, jest czymś, do czego sami trenują przez długi czas” – powiedział Eric Legge, psycholog kognitywny z University of Alberta w Edmonton, Kanada.

Wejdź do pałacu umysłu

Eksperci od zapamiętywania pi często używają strategii znanej jako metoda loci, zwanej również „pałacem pamięci” lub techniką „pałac umysłu” (jak ta używana przez postać Benedicta Cumberbatcha w serialu BBC „Sherlock”). Stosowana od czasów starożytnych Greków i Rzymian metoda polega na wykorzystaniu wizualizacji przestrzennej do zapamiętywania informacji, takich jak cyfry, twarze czy listy słów.

„To jedna z bardziej skutecznych, ale złożonych strategii pamięciowych do zapamiętywania dużych zestawów informacji” – powiedział Legge Live Science.

Oto, jak to działa: Umieszczasz się w znajomym środowisku, takim jak dom, i przechodzisz przez to środowisko, umieszczając w różnych miejscach fragmenty informacji, które chcesz zapamiętać. Na przykład możesz umieścić numer „717” w rogu przy drzwiach wejściowych, numer „919” w zlewie kuchennym i tak dalej, powiedział Legge.

„Aby przywołać [cyfry] w kolejności, wystarczy, że pójdziesz tą samą ścieżką, co podczas przechowywania tych informacji” – powiedział Legge. „Dzięki temu ludzie mogą zapamiętać ogromne zbiory informacji”.

Pielęgnuj, a nie przyrodę

Anders Ericsson, profesor psychologii na Uniwersytecie Stanowym Florydy w Tallahassee, badał Lu i innych, którzy ustanowili rekordy w recytowaniu cyfr liczby pi, aby dowiedzieć się, jak dokonali tych niesamowitych wyczynów zapamiętywania.

Podobnie jak większość innych recytatorów pi, Lu używał technik wizualizacji, aby pomóc mu zapamiętać. Obrazy takie jak krzesło, król czy koń przypisywał dwucyfrowym kombinacjom liczb od „00” do „99”. Następnie wymyślił historię, używając tych obrazów, która była powiązana z fizyczną lokalizacją, powiedział Ericsson.

Kilka lat temu Ericsson i jego koledzy dali Lu, a także grupie osób w tym samym wieku i poziomie wykształcenia, test, który mierzył ich „rozpiętość cyfr” &mdash, innymi słowy, jak dobrze pamiętają ciąg losowych cyfry prezentowane z szybkością jednej cyfry na sekundę.

Według badania opublikowanego w 2009 roku w Journal of Experimental Psychology, rozpiętość cyfr Lu wynosiła 8,83, w porównaniu ze średnią 9,27 dla reszty grupy. Wyniki sugerują, że w przeciwieństwie do niektórych innych badanych ekspertów pamięci, umiejętność zapamiętywania długich list cyfr przez Lu nie była wynikiem wrodzonej umiejętności kodowania informacji. Jest to raczej wynik lat praktyki, powiedział Ericsson.

Czy to oznacza, że ​​każdy może nauczyć się zapamiętywać dziesiątki tysięcy cyfr liczby pi?

„Odbyło się wiele demonstracji pokazujących, że zwykli ludzie, przeszkoleni, mogą radykalnie poprawić swoje wyniki” w zapamiętywaniu długich list, powiedział Ericsson. – Ale muszę być szczery – powiedział. „Kiedy podejmujesz zobowiązanie do zapamiętywania pi… rozmawiamy lata, zanim rzeczywiście będziesz mógł osiągnąć rekordowe występy”.


System liczbowy i działania arytmetyczne

Egipcjanie, podobnie jak po nich Rzymianie, wyrażali liczby zgodnie ze schematem dziesiętnym, używając oddzielnych symboli dla 1, 10, 100, 1000, i tak dalej każdy symbol pojawiał się w wyrażeniu liczby tyle razy, ile wystąpiła wartość, którą reprezentował w samej liczbie. Na przykład, oznaczało 24. Ta dość nieporęczna notacja była używana w piśmie hieroglificznym występującym w inskrypcjach kamiennych i innych tekstach formalnych, ale w dokumentach papirusowych skrybowie stosowali wygodniejszy skrócony pismo, zwany pismem hieratycznym, gdzie na przykład zapisywano 24 / >.

W takim systemie dodawanie i odejmowanie sprowadza się do policzenia, ile symboli każdego rodzaju jest w wyrażeniach liczbowych, a następnie przepisania z otrzymaną liczbą symboli. Teksty, które przetrwały, nie ujawniają, czy i jakie specjalne procedury stosowali skrybowie, aby w tym pomóc. Ale dla mnożenia wprowadzili metodę sukcesywnego podwajania. Na przykład, aby pomnożyć 28 przez 11, tworzy się tabelę wielokrotności 28, tak jak poniżej:

Kilka wpisów w pierwszej kolumnie, które razem sumują się do 11 (tj. 8, 2 i 1), są odhaczone. Produkt jest następnie znajdowany przez zsumowanie wielokrotności odpowiadających tym wpisom, a więc 224 + 56 + 28 = 308, pożądany produkt.

Aby podzielić 308 na 28, Egipcjanie zastosowali tę samą procedurę w odwrotnej kolejności. Używając tej samej tabeli, co w zadaniu mnożenia, można zobaczyć, że 8 daje największą wielokrotność 28, która jest mniejsza niż 308 (dla wpisu 16 to już 448), a 8 jest odhaczone. Proces jest następnie powtarzany, tym razem dla reszty (84) uzyskanej przez odjęcie wpisu przy 8 (224) od oryginalnej liczby (308). Jest to jednak już mniejsze niż wpis w 4, który w konsekwencji jest ignorowany, ale jest większy niż wpis w 2 (56), który jest następnie zaznaczany. Proces jest powtarzany ponownie dla reszty otrzymanej przez odjęcie 56 od poprzedniej reszty 84 lub 28, która również jest dokładnie równa wpisowi 1 i która jest następnie zaznaczana. Pozycje, które zostały zaznaczone, są sumowane, otrzymując iloraz: 8 + 2 + 1 = 11. (W większości przypadków oczywiście jest reszta, która jest mniejsza niż dzielnik).

W przypadku większych liczb tę procedurę można poprawić, biorąc pod uwagę wielokrotności jednego z czynników przez 10, 20…lub nawet o wyższe rzędy wielkości (100, 1000…), jeśli to konieczne (w egipskim zapisie dziesiętnym te wielokrotności są łatwe ćwiczyć). W ten sposób można znaleźć iloczyn 28 na 27, określając wielokrotności 28 na 1, 2, 4, 8, 10 i 20. Ponieważ wpisy 1, 2, 4 i 20 sumują się do 27, można tylko po to, aby zsumować odpowiednie wielokrotności, aby znaleźć odpowiedź.

Obliczenia dotyczące ułamków są przeprowadzane z ograniczeniem do części jednostkowych (czyli ułamków, które we współczesnej notacji są zapisywane z 1 jako licznikiem). Na przykład, aby wyrazić wynik dzielenia 4 przez 7, co we współczesnej notacji wynosi po prostu 4/7, skryba napisał 1/2 + 1/14. Procedura znajdowania ilorazów w tej postaci jedynie rozszerza zwykłą metodę dzielenia liczb całkowitych, gdzie teraz sprawdza się wpisy dla 2/3, 1/3, 1/6 itd. oraz 1/2, 1/4, 1/8 itd., aż do odpowiednich wielokrotności sumy dzielnika do dywidendy. (Skrybowie zawierali 2/3, można zauważyć, chociaż nie jest to ułamek jednostkowy). W praktyce procedura może czasem stać się dość skomplikowana (na przykład wartość 2/29 jest podana w papirusie Rhinda jako 1/ 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) i można je wypracować na różne sposoby (na przykład ten sam 2/29 można znaleźć jako 1/15 + 1/435 lub jako 1/16 + 1/ 232 + 1/464 itd.). Znaczna część tekstów papirusowych jest poświęcona tablicom, aby ułatwić znalezienie takich wartości jednostek-ułamków.

Te podstawowe operacje są wszystkim, czego potrzeba do rozwiązania problemów arytmetycznych w papirusach. Na przykład „aby podzielić 6 bochenków między 10 mężczyzn” (papirus Rhind, problem 3), wystarczy podzielić, aby uzyskać odpowiedź 1/2 + 1/10. W jednej grupie problemów stosuje się ciekawą sztuczkę: „Ilość (aha) i jego siódmy razem tworzą 19 — co to jest? (Papirus Rhin, problem 24). Tutaj najpierw zakładamy, że ilość wynosi 7: ponieważ 1 1 /7 z tego wynosi 8, a nie 19, jeden bierze 19/8 (czyli 2 + 1/4 + 1/8), a jego wielokrotność przez 7 (16 + 1/2 + 1/8) staje się wymaganą odpowiedzią. Ten rodzaj procedury (nazywany czasem metodą „fałszywego położenia” lub „fałszywego założenia”) jest znany w wielu innych tradycjach arytmetycznych (np. chińskiej, hinduskiej, muzułmańskiej i renesansowej Europie), chociaż wydaje się, że nie ma z nimi bezpośredniego związku. do Egipcjanina.


10 000 cyfr Pi sformatowanych dla ludzi

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952
0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983
8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744
9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511
2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745
5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955
3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000
8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548
1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542
5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383
8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511
7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287
4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077
2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203
4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151
5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382
6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680
8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388
4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894
4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506
0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398
6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125
1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867
2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858
9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487
2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364
5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610
2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344
0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713
8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927
8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799
9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595
6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215
0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518
6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856
1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641
4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007
2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586
7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116
7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396
5725121083 5791513698 8209144421 0067510334 6711031412
6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618
3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535
8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141
6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923
2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730
5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656
1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100
4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658
2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780
2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396
6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056
4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045
3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560
8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800
7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407
1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830
6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254
2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923
0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011
2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901
9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599
0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571
8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160
7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003
9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274
8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296
6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736
4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513
6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939
7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721
5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729
4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435
4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082
2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617
5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031
9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738
3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545
3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332
3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507
7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267
9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835
3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987
0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927
7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113
8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130
4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415
9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972
8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773
4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256
2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460
2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377
9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455
2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261
8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737
2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364
3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745
1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400
6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510
2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766
8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047
4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123
2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010
2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610
3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501
9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536
1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617
2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258
8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594
0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989
8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867
4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938
1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834
3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029
9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722
0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278
1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605
2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623
3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348
2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611
0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486
3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623
5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862
9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051
3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570
1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634
8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026
9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183
7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157
9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174
8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127
5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026
6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378
5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558
7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291
6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529
7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066
9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034
4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228
8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177
1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968
3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276
5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296
4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041
9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212
7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356
3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522
7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153
2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017
9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323
2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345
9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505
4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 5337543885
6909411303 1509526179 3780029741 2076651479 3942590298
9695946995 5657612186 5619673378 6236256125 2163208628
6922210327 4889218654 3648022967 8070576561 5144632046
9279068212 0738837781 4233562823 6089632080 6822246801
2248261177 1858963814 0918390367 3672220888 3215137556
0037279839 4004152970 0287830766 7094447456 0134556417
2543709069 7939612257 1429894671 5435784687 8861444581
2314593571 9849225284 7160504922 1242470141 2147805734
5510500801 9086996033 0276347870 8108175450 1193071412
2339086639 3833952942 5786905076 4310063835 1983438934
1596131854 3475464955 6978103829 3097164651 4384070070
7360411237 3599843452 2516105070 2705623526 6012764848
3084076118 3013052793 2054274628 6540360367 4532865105
7065874882 2569815793 6789766974 2205750596 8344086973
5020141020 6723585020 0724522563 2651341055 9240190274
2162484391 4035998953 5394590944 0704691209 1409387001
2645600162 3742880210 9276457931 0657922955 2498872758
4610126483 6999892256 9596881592 0560010165 525637567


Radość z arytmetyki zmiennoprzecinkowej sześćdziesiętnej

W zeszłym miesiącu pisałem o szumie wokół nowego artykułu na temat szeroko badanej tabletu Plimpton 322. Ta starożytna mezopotamska tabletka, która była tematem wielu artykułów naukowych w ciągu ostatnich kilku dekad, zawiera kolumny liczb związane z trójkąty prostokątne, ale nie wiemy dokładnie, jak i dlaczego tabela została utworzona.

W swoim poście skrytykowałem wideo reklamowe, które badacze nakręcili, aby towarzyszyć wydaniu artykułu. W szczególności byłem zirytowany dziwnymi uwagami jednego z badaczy na temat względnej użyteczności systemu o podstawie 60, czyli sześćdziesiętnego, w porównaniu z systemem o podstawie 10 lub dziesiętnym, którego używamy dzisiaj.

Żeby było jasne, podstawa 60 ma dużą przewagę nad podstawą 10: 60 jest podzielne przez 3, a 10 jest&rsquot. Łatwo jest zapisać ułamki 1/2, 1/4 i 1/5 o podstawie 10: wynoszą one odpowiednio 0,5, 0,25 i 0,2. Ale 1/3 to 0.3333&hellip. Jego reprezentacja dziesiętna kończy się. To naprawdę jest dla nas zbyt duży problem, ponieważ nie ma problemu z reprezentowaniem liczb jako ułamków dziesiętnych lub ułamków zwykłych. Ale babiloński system liczbowy nie przedstawiał ułamków w kategoriach liczników i mianowników, tak jak my. Użyli tylko formy sześćdziesiętnej, co oznaczałoby, że tak jak my używalibyśmy tylko ułamków dziesiętnych zamiast pisać liczby jako ułamki. W sześćdziesiętnym 1/3 ma łatwą reprezentację jako. To 20/60, co można zapisać jako .20 w systemie sześćdziesiętnym. (Został napisany dokładnie w ten sposób przez starożytnych Mezopotamczyków, ponieważ nie mieli odpowiednika przecinka dziesiętnego. Wrócimy do tego później).

Im więcej czynników pierwszych, tym lepiej, jeśli chodzi o łatwe reprezentowanie liczb przy użyciu pozycyjnego systemu liczbowego, takiego jak podstawa 10 lub 60, ale te dodatkowe czynniki mają swoją cenę. W bazie 10 musimy nauczyć się tylko 10 cyfr. Podstawa 30, najmniejsza podstawa podzielna przez 2, 3 i 5 (60 ma dodatkowy czynnik 2, który robi ogromną różnicę w tym, jak łatwo jest reprezentować liczby), wymaga 30 odrębnych cyfr. Jeśli chcielibyśmy zapisać ułamki takie jak 1/7 przy użyciu analogicznej reprezentacji, musielibyśmy skoczyć aż do podstawy 210. Praca z tak wieloma cyframi bardzo szybko staje się kłopotliwa.

Ułamki, których mianowniki mają tylko współczynniki 2 i 5, mają skończone reprezentacje dziesiętne. Baza 12 również byłaby całkiem wygodna. Ma dzielniki pierwsze 2 i 3 i dość łatwo policzyć do 12 na palcach, używając knykci jednej ręki zamiast poszczególnych palców. (Jeden z moich studentów historii matematyki napisał post, w którym argumentował za systemem liczbowym o podstawie 12 lub tuzinach.) Przy podstawie 12 tracimy zdolność łatwego przedstawiania 1/5 lub 1/10. Ale 30 lub 60, najmniejsze podstawy, które dopuszczają czynniki pierwsze 2, 3 i 5, są strasznie duże. To kompromis. Osobiście pomysł, aby śledzić 30 lub 60 różnych cyfr, nawet jeśli są one dość oczywiste, jak cyfry babilońskie, jest dla mnie za dużo, więc trzymam się 10 lub 12. sześćdziesiętne, jeśli to twoja sprawa.

Baza 60 z pewnością ma tę główną przewagę nad bazą 10, ale byłem zirytowany sposobem, w jaki Mansfield przecenił tę przewagę w filmie promocyjnym, który nakręcili do gazety. Oto co pisałem o tym w zeszłym miesiącu:

Być może użyteczność różnych typów tabel trygonometrycznych jest kwestią opinii, ale film UNSW zawiera również pewne kłamstwa dotyczące dokładności w systemie o podstawie 60 w porównaniu z systemem o podstawie 10, którego obecnie używamy. Około 1:10, mówi Mansfield, „Liczymy w bazie 10, która ma tylko dwa dokładne ułamki: 1/2, czyli 0,5, i 1/5”. Moim pierwszym zarzutem jest to, że każdy ułamek jest dokładny. Liczba 1/3 to dokładnie 1/3. Mansfield wyjaśnia, że ​​przez to, że 1/3 nie jest dokładną ułamkiem, ma na myśli to, że ma nieskończoną (0,333&hellip) zamiast końcowego dziesiętnego. Ale co z 1/4? To 0,25, które się kończy, a jednak Mansfield uważa to za dokładny ułamek. A co z 1/10 czy 2/5? Mogą być napisane 0.1 i 0.4, które wydają się dość dokładne.

Nie do obrony, kiedy wychwala wiele „dokładnych ułamków” dostępnych w bazie 60, stosuje te same standardy. W bazie 60, 1/8 byłoby zapisane 7/60+30/3600, co jest tym samym pomysłem, co wpisanie 0.25 lub 2/10+5/100, dla 1/4 w bazie 10. Dlaczego 1/8 jest dokładna w podstawie 60 podstawa 60, ale 1/4 nie dokładna w podstawie 10?

Nie będę tutaj przerabiać mojego posta, ale chcę wyjaśnić jedną kwestię. Kilka osób, które skrytykowały tę krytykę filmu, uważa, że ​​liczby, o których tam wspomniałem, to tylko losowe liczby unoszące się w eterze w filmie. Oni&rsquo nie! Ponieważ Mansfield nie wyjaśnił, co oznaczają liczby, mogą wyglądać losowo, ale w rzeczywistości wyrażenie 1/8=7,30 coś znaczy. Kiedy uczyłem historii matematyki, moi uczniowie pracowali trochę z arytmetykami o podstawie 60, więc natychmiast rozpoznałem pary, które wyświetlał jako „pary odwrotne”. osoba wykształcona matematycznie w 1800 roku p.n.e.

Zrzut ekranu z filmu promocyjnego, który badacze zrobili, aby towarzyszyć ich artykułowi o babilońskiej tablecie Plimpton 322. Źródło: UNSW

Babiloński system liczbowy był systemem pozycyjnym lub wartością miejsca, takim jak nasz. W naszym systemie dziesiętnym cyfra 1 może oznaczać jedną jednostkę, jeśli jest sama, dziesięć, jeśli jest na miejscu dziesiątek w liczbie takiej jak 10 lub 12, sto, jeśli jest na następnym miejscu po lewej stronie i tak dalej. W pozycyjnym systemie o podstawie 60 byłyby jedno miejsce, sześćdziesiąte, trzydzieści sześćset itd., a nie te, do których przywykliśmy. Ale poza tym system działa tak samo jak nasz. Jest to w przeciwieństwie do na przykład cyfr rzymskich, gdzie I oznacza jeden, X oznacza dziesięć, C oznacza sto i tak dalej. Tak więc system babiloński jest dla nas nieco łatwiejszy w obsłudze niż system rzymski.

Ale jest pewien zwrot: system babiloński nie używał zera, przynajmniej na początku. (Napisałem o tym dziwaku, kiedy zacząłem uczyć historii matematyki w 2014 r.) Używamy zera jako symbolu zastępczego, albo w środku liczby, jak w liczbie 101, albo na początku (0.001) lub na końcu (1000) do wskazać wielkość liczby, o której mówimy. Starożytni Mezopotamczycy tego nie zrobili, chociaż zostawili trochę miejsca na puste cyfry w środku liczby, w której wpisywaliśmy zero w 101. Założyli, że kontekst uczyni porządek wielkości jasnym. W naszym systemie liczbowym byłoby to jak pisanie 1 i zakładając, że byłoby jasne, czy oznacza to jeden, dziesięć, jedną dziesiątą, sto, czy inną liczbę, zapisalibyśmy tylko za pomocą cyfr jeden i zero.

Brzmi to mylące i doprowadziło do pewnych błędów, ale popełniamy też głupie błędy na podstawie tego, jak piszemy liczby: na przykład cyfry 6 i 0 lub 1 i 7 wyglądają podobnie w pismach niektórych osób. Czasami nawet pomijamy rząd wielkości, jeśli jest to rozumiane w kontekście. Ludzie mówią o zjedzeniu czegoś, co ma 100 kalorii, co tak naprawdę oznacza 100 kilokalorii. Reklamy nieruchomości czasami mówią takie rzeczy jak „domy za 100 dolarów” (na przedmieściach Teksasu, kiedy byłem dzieckiem) lub „jednostki za 500 dolarów” (dziś w dużych miastach). Jeśli pojawisz się z kilkoma setkami dolarów, myśląc, że wrócisz jako właściciel domu, będzie ci bardzo przykro, że nie zrozumiałeś milczącego „tysiąca” na końcu tych liczb.

Obecnie komputery zazwyczaj reprezentują i manipulują liczbami za pomocą arytmetyki zmiennoprzecinkowej, która może przypominać notację naukową. Jeden zestaw cyfr wskazuje cyfry w liczbie, a drugi zestaw wskazuje jego rząd wielkości. W ten sposób zapisanie liczby 12 zajmuje w zasadzie tyle samo pamięci, co 12 000 000.Chociaż system babiloński nie wskazywał rzędów wielkości tak wyraźnie, jak współczesne komputery, podobieństwa wystarczają, aby niektórzy określali go jako zmiennoprzecinek sześćdziesiętny.

Fakt, że 1 mogłem wskazać jedną, sześćdziesiąt, trzydzieści sześćset lub inne potęgi liczby 60 w babilońskim systemie liczbowym, doprowadził do innego sposobu myślenia o podziale. Gdyby musieli podzielić przez liczbę, pomnożyliby przez „bdquowzajemność” tej liczby. Dwie liczby byłyby odwrotnością, gdyby ich iloczynem była cyfra 1. Ale to może oznaczać wszystko, co zostało zapisane jako odpowiednik cyfry 1 w podstawie 60: 1, 60, 3600, 1/60 i tak dalej. Zatem 4 i 15 tworzą parę odwrotną o podstawie 60, ponieważ 4×15 to 60. Tak samo 3 i 20, 5 i 12 oraz wiele innych kombinacji. (Te pary mogą wydawać się znajome: 15 minut w kwadransie, 20 w trzeciej itd. Lubię myśleć o tym jako o szczątkowym seksagesymizmie). Tabele wzajemności zawierały również bardziej skomplikowane pary wzajemności: 8 i 7,30 9 i 6,40 1,21 i 44,26,40. (Dzisiaj zazwyczaj umieszczamy przecinki między cyframi sześćdziesiętnymi, gdy zapisujemy je z naszymi hindusko-arabskimi cyframi dziesiętnymi, aby uniknąć niejednoznaczności. 7,30 oznacza, że ​​w jednym miejscu jest 7, a w drugim 30. Rząd wielkości nadal zależy od kontekstu. )

Na początku zdania takie jak 1/4=15 i 1/8=7,30 wydawały mi się nienaturalne dla mnie i moich uczniów, ale myślę, że przełożenie ich z powrotem na podstawę 10 może trochę pomóc. Kiedy byłem dzieckiem, odkryłem niesamowity fakt: zamiast mnożenia przez 5, co było dla mnie trudne, mogłem podzielić przez 2, co było dla mnie łatwe, i pomnożyć przez 10. Pomyślałem o tym w ten sposób. Myślałem o tym bardziej jako „podziel przez 2, a następnie ustaw odpowiednią wielkość liczby”. Później odkryłem, że można odwrócić ten proces: możesz podzielić przez 5, mnożąc przez 2 i nadając liczbie właściwy rozmiar (poprzez dzielenie przez 10). , co może wyglądać jak usunięcie zera lub przesunięcie kropki dziesiętnej w lewo)! Odkryłem również, że mogę pomnożyć przez 50, używając tej samej sztuczki i dodając kolejne 0.

Byłem całkiem zadowolony z tych małych sztuczek, ale nigdy nie powiedziałem o tym moim nauczycielom, ponieważ byłem pewien, że oszukuję. Gdybym został złapany, musiałbym nauczyć się mnożyć lub dzielić przez 5. Horror! Teraz wiem, dlaczego moje sztuczki zadziałały i że nie oszukiwały. Używałem faktu, że 5 i 2 są dziesiętnymi odwrotnościami zmiennoprzecinkowymi. W rzeczywistości dobrze jest móc rozbijać liczby w wygodny sposób, aby ułatwić arytmetykę. Kiedy po raz pierwszy zetknąłem się z babilońskim systemem o podstawie 60, rozpoznałem sztuczkę 5-2 jako wersję o podstawie 10 sześćdziesiętnych „par odwrotnych”. różne sposoby ich reprezentowania mogą pomóc uczniom (i niestudentom) rozwinąć nasze wyczucie liczb i dobrze się bawić.

Więcej informacji na temat babilońskiego systemu liczbowego:
Wprowadzenie do cyfr babilońskich ze strony internetowej poświęconej historii matematyki MacTutor
Strona Duncan J. Melville's Mesopotamian Mathematics, patrz w szczególności „Tematy specjalne”, która zawiera artykuły o babilońskich parach wzajemnych

Wyrażone poglądy są poglądami autora(ów) i niekoniecznie są poglądami Scientific American.


Pogrzeb faraona

Mumifikacja i pochówek zajmowały ważne miejsce w życiu Egipcjan. Egipcjanie wierzyli zachowanie ciała gwarantowane przetrwanie duszy w życiu pozagrobowym. Faraon zaczął budować swój grób wkrótce po objęciu tronu. Lokalizacje i rodzaje budowanych grobowców zmieniały się z biegiem czasu i wraz z przeprowadzką stolicy kraju. Groby zawierały dekoracje z podróży faraona w zaświatach oraz teksty z Księgi Umarłych.

&kopiuj Mary Harrsch — Zdobiony sarkofag

Najwcześniejsze grobowce faraonów to grobowce mastaby wykonany z cegły mułowej. Uczeni znaleźli te grobowce na niektórych z najstarszych cmentarzy w pobliżu starożytnych stolic (patrz lista stolic poniżej). Mastaby, podobnie jak wszystkie starożytne cmentarze egipskie, znajdowały się na zachodnim brzegu Nilu, który był królestwem zmarłych.

Piramidy były opracowaniami kamiennego projektu mastaby. Pierwszym był Piramida schodkowa Dżesera, który zaprojektował Imhotep. Architekci zaplanowali piramidy i włączyli do kompleksu świątynię grobową i inne królewskie grobowce. Wielka Piramida Chufu w Gizie jest najwspanialszym przykładem tego typu grobowca.

&skopiuj DragonWoman – kompleks piramid w Gizie

Później faraonowie widzieli, że rabusie grobów włamali się do wcześniejszych grobowców, więc zrobili to w tajemnicy grobowce wykute w skale. Obszar, w którym zbudowali te grobowce, nazywa się teraz Doliną Królów. Niektóre grobowce zawierały kilka komnat i więcej niż jednego władcę.

Faraonowie otrzymali wyszukane pochówki zawierające szeroką gamę towarów. Początkowo księża chowali faraonów z przedmiotami takimi jak ubrania, meble, gry i biżuteria. Za panowania dynastii dziewiętnastej kapłani zaczęli ich grzebać z przedmiotami przeznaczonymi do życia pozagrobowego. Przykładem tego są gliniane figurki shabti, które mają służyć faraonowi. Kapłani umieszczali w grobowcach żywność, olej i naczynia, aby nakarmić króla w życiu pozagrobowym.


Obejrzyj wideo: Recytuje 1000 cyfr po przecinku liczby Pi (Styczeń 2022).